لحساب حجم مخروط دوراني عبر استخدام تقنية التكامل الرياضي، يمكن اتباع الخطوات التالية: أولاً، علينا تحديد معادلة المنحنى الذي يشكل قاعدة المخروط الدوار. لنفترض أنه منحنى منحنی paraboloid ذو قمة عند نقطة الأصل وفتحة قطرها `2a` وحضيض دائرة نصف قطره `a`. المعادلة البارامترية لهذا المنحنى هي:

x(t) = a cos(t), y(t) = a sin(t), z(t) = t^2/4, for t ∈ [0, π]

حيث x وy هما إحداثيات سطح القاعدة بينما z يمثل ارتفاع النقطة بالنسبة للمستوى الأفقي. بعد ذلك نقوم بتدوير هذا المنحنى حول المحور z للحصول على المخروط الدوار.

للعثور على الحجم بالاستناد إلى هذه العملية، سنستخدم الصيغة العامة لحساب حجم الصلابة الثابتة بواسطة تكامل ثلاثي:

V = ∫∫∫D dV = ∫∫∫D dx dy dz

بما أن لدينا وصف باراميتري للمنحنى، فإننا نحتاج لتحويل النظام الإحداثي من Cartesian إلى cylindrical ثم إلى spherical لكي يتمكن التكامل الثلاثي من العمل بشكل صحيح. هنا ستكون التحويلات كما يلي:

dxdydz = r dr dθ dz where ρ² = x² + y², θ = arctan(y/x). لاحظ أن المنطقة D التي ننظر إليها الآن عبارة عن مجال بين مستويين موازيين ومتعامدين مع محور Z والمحددين بمستويات ثابتتين 'z=z1' و'z=z2'. وبالتالي سيكون الحد الأعلى والسفلي للتكامل الخاص بي ز هو z2 وz1 على الترتيب بدلاً من التعبيرات الوزنية المقيدة بتلك المتعلقة بالمسار الجبري للدالة. أخيرًا سوف تقوم بإدخال الحدود المناسبة لكل متغير حسب نموذج الشكل الهندسي المدروس وأخيراً تقوم بالحوسبة النهائية لتحديد حاصل الظرب مايلي :

dV = |rcosθ| rdr dθ dz .

وبذلك تصبح المسألتان الأخيرتان كالآتي : V=(πa³)/6 وهذا مكافئ لما توصف له رياضياً كـ "الحجم".